مساله مقدار بهینه معکوس

فرض کنید جواب بهینه یک مساله از قبل تعیین شده است. بهینه سازی معکوس ‎عبارتست‎ از به دست آوردن پارامترهایی مثل ضرایب تابع هدف و محدودیت های مساله ی بهینه سازی که پاسخ آن را از قبل می دانستیم. یک مساله بهینه سازی استاندارد معکوس که غالبا بررسی می شود، به شرح زیر است‎:‎ مساله ی بهینه سازی زیر را با یک هدف خطی و یک جواب بهینه ی مطلوب ‎$x^* in x$‎ را در نظر بگیرید: ‎$$p~:~underset{x}{min}lbrace{c^tx~|~x in x} brace.$$‎ فرض کنید که جواب بهینه ی مطلوب‎ ‎$x^* in x$‎ داده شده است، بردار هزینه ی ‎‎$c‎^* in c$‎ را به گونه ای بیابید که‎‎ ‎$x^* in ‎x$‎‎‎ ‎جواب بهینه ی مسا‎‎له ی ‎$p$‎ باشد و در عین حال لازم است که بردار ‎ ‎‎$c^*$‎‎‎ در یک تعداد شرایط اضافی نیز صدق کند به طوری که برای بردار هزینه ی داده شده ‎‎ ‎‎‎‎$c‎^{‎}‎$‎‎‎ ، انحراف‎ $‎‎‎vert ‎‎‎‎c‎^{*}‎‎‎-‎‎c‎^{‎}‎‎vert‎‎‎‎‎_{‎p‎‎}‎‎$‎ مینیمم شود. دانشمندان ژئوفیزیک اولین کسانی بودند که به مطالعه ی مسا‎‎له ی معکوس پرداختند. این مساله، کاربرد وسیع و متنوعی در علوم ژئوفیزیک دارد. مساله ی مقدار بهینه ی معکوس یک مساله ی ‎$np$-‎سخت است. براساس یک دسته از مفروضات، جواب های بهینه ی مساله به وسیله ی یک سری از مسایل برنامه ریزی خطی و دو خطی بدست آورده شده است. یکی از این مفروضات محدب بودن مجموعه ی ‎‎$c‎$‎ می باشد که این امر نسبتا‎‎ محدودکننده است. در صورت نبود این فرض، بیشتر نتایج و الگوریتم بدست آمده درست نخواهد بود بنابراین این امر ایجاب می کند که مساله ی مقدار بهینه ی معکوس را تحت شرایط کلی تری مورد مطالعه قرار دهیم. در این پایان نامه مساله ی مقدار بهینه ی معکوس را به یک مساله برنامه ریزی دو سطحی غیر خطی تبدیل خواهیم کرد. چرا که با این کار می توانیم مساله ی مقدار بهینه ی معکوس را تحت شرایط کلی تری حل کنیم. سپس، با استفاده از روش تابع جریمه، شرایطی برای وجود جواب مساله دوسطحی غیرخطی فوق ارایه می شود و در پایان الگوریتمی برای حل مساله طراحی می گردد.